一題求極大值的問題
a^3-abc=2b^3-abc=6
c^3-abc=20
a,b,c均為實數
求a^3+b^3+c^3的極大值
謝謝各位老師 1.
利用 \(a^3\cdot b^3\cdot c^3=\left(2+abc\right)\left(6+abc\right)\left(20+abc\right)\)，
令 \(t=abc\)，則 \(t^3=\left(2+t\right)\left(6+t\right)\left(20+t\right)\)，
可解得 \(\displaystyle abc=t=-4 \mbox{ 或 } -\frac{15}{7}.\)
2.
\(\displaystyle a^3+b^3+c^3 = \left(2+abc\right)+\left(6+abc\right)+\left(20+abc\right)=28+3abc=16 \mbox{ 或 } \frac{151}{7}\)
故，\(a^3+b^3+c^3\) 的最大值為 \(\displaystyle\frac{151}{7}.\) 補個出處2010AIME第9題，點題號可以看解答
[url]http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=182&cid=45&year=2010[/url]
另外第15題在PTT數學版有人問過了，我將我的解法放上來
\( \displaystyle \overline{BM}=\frac{1}{2}\sqrt{(\overline{AB}+\overline{BC})^2-\overline{AC}^2}=10 \)
假設\( \overline{AM}=x \)，\( \overline{CM}=15-x \)
\( \displaystyle \frac{△ABM}{△BCM}=\frac{\frac{1}{2}(12+x+10)r}{\frac{1}{2}(15-x+13+10)r} \)
\( \displaystyle \frac{△ABM}{△BCM}=\frac{\overline{AM}}{\overline{CM}}=\frac{x}{15-x} \) 同底等高
解出\( \displaystyle x=\frac{22}{3} \)，\( \displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{CM}}=\frac{22}{23}=\frac{p}{q} \)
補充一題
設△ABC中∠C為直角，點D在斜邊AB上，AC=9，BC=8，CD=6，已知△ACD之內切圓與△BCD內切圓有相同的半徑，試求△ACD與△BCD面積之比值。
(2002TRML個人賽)
頁:
[1]