請教一題函數方程
還沒有好的想法:設\( f(x) \)滿足
\( f(0)=1,f(2)+f(3)=125 \)
而且對所有實數x都有\( f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x) \)
求\( f(5)=? \)
(真是太久沒發文了!!)
另外，猜到可能的\( f(x)=(x^2+1)^2 \)，還是沒頭緒
[[i] 本帖最後由 老王 於 2009-10-3 10:27 PM 編輯 [/i]] 其實我也不會解,我昨天到mathlinks問了這題再等看看有沒有人會
[url]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=303704[/url]
你能猜的到答案也很厲害了
回復 2# bugmens 的帖子
感謝你!!這題是同事問的，他說是學生問的，不知哪來的競賽題。
我是先猜是多項函數，然後看出是偶函數
再由f(2)+f(3)=125猜的
可是題目也沒說是多項函數 哈哈我找到出處了,原來是2007AIME的題目,點題號看網友的討論
[url]http://www.mathlinks.ro/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2007[/url]
Let \( f(x) \) be a polynomial with real coefficients such that \( f(0)=1 \),\( f(2)+f(3)=125 \),and
for all x,\( f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x) \).Find \( f(5) \).
考上之後越來越偷懶了,曾經準備過的題目居然認不出來 這題如果限制f在多項式函數上，的確會有原PO所斷言之結論。
不妨令f(x)=akX^k+ak-1X^k-1+.....+1，ak不等於0
帶入 \( f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x) \)，比較首項及次項係數會得到 ak=1，ak-1=0
由上可大概瞭解f似乎具有偶函數的雛形，
假設f(x)=(x-b1)(x-b2)...(x-bk)，{bi，1<=i<=k}允許有複數
絕對值b1*b2*...*bk=1
bi，1<=i<=k為f(x)=0之根 iff 2bi^3+bi亦為f(x)=0之根，
考慮絕對值2bi^3+bi=絕對值bi*絕對值2bi^2+1，
若某1<=i<=k使得絕對值bi>1，則易見 絕對值2bi^2+1>1
導致 絕對值2bi^3+bi>絕對值bi，那麼2bi^3+bi不等於bi
重複上面理論可以得知bi，2bi^3+bi，......為一無窮多由bi衍生出來的f(x)＝0之相異根 for some 1<=i<=k，矛盾。
故 對所有的1<=i<=k，皆有絕對值bi<=1，由上面一式絕對值b1*b2...*bk=1
得知 絕對值bi=1 for all i
考慮型如2bi^3+bi之根，吾人知絕對值2bi^2+1=1 ，根據高中數學的範疇告訴我們這樣的bi有跡可尋，
令 bi=cos@+isin＠，（1+2cos2@）^2+4sin2@^2=1，則4+4cos2@=0，cos2@=-1，＠＝（n+1/2）拍
故 bi= i or -i with i^1=-1，for all i
由虛根成對的結論告訴我們 f(x)=（x^2+1)^n with deg(f)=2n，而f顯然為一偶函數
再由f(2)+f(3)=125 得知 n=2，
所求為（x^2+1）^2
PS：至於一般性的f ，由於小弟腦袋簡單無法提供原PO所要的資訊 ，但根據小弟一些淺見，要求出
一般性的f 單單由題目所提供的條件恐怕不足以解出，個人認為條件過少，再者，光是要試探f 是否有
1-1，onto 的一般函數性質已非易事。
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