98高雄市聯招
請見附件[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2009-6-22 11:33 PM 編輯 [/i]] 1.將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第1000項之值。
補上出處，新奧數教程 高一 第2講 有限集元素的數目
将与105互质的所有正整数以小到大排成数列，求这个数列的第1000项。
其餘題目可參考[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834[/url]
的"奧數教程.rar"
3.平面上有一四邊形ABCD，其頂點分別為\( A(0,0) \)，\( B(2,1) \)，\( C(3,4) \)，\( D(-1,7) \)，此平面上另P，Q兩點，使得\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)與\( \overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD} \)均有最小值，試求P，Q座標。
[提示]
令\( P(x,y) \)，配方法求最小值
\( \overline{AC} \)，\( \overline{BD} \)的交點為Q
二、證明題
1.證明：\( \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1999}<\frac{1}{44} \)
補充一題
\( \frac{1}{2001}<\frac{2 \times 4 \times 6 \times ... \times 2000 }{1 \times 3 \times 5 \times ... \times 2001 }<\frac{20 \sqrt{10}}{2001} \)
(高中數學能力競賽 90高屏區競試(二))
2.給定空間中四面體OABC，其中三邊\( \overline{OA} \)，\( \overline{OB} \)，\( \overline{OC} \)兩兩垂直，若\( a△ABC \)，\( a△OAB \)，\( a△OBC \)，\( a△OAC \)分別代表\( △ABC \)，\( △OAB \)，\( △OBC \)，\( △OAC \)的面積，試證：\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)
補上一題，新奧數教程 高二 第11講 四面體
已知四面体V-ABC中，棱VA、VB、VC两两垂直，三角形VBC、VCA、VAB和ABC的面积分别为\( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \)、\( S \)。求证：\( S^2_1+S^2_2+S^2_3=S^2 \)。
提供另外一種方法
令\( A=(a,0,0) \)，\( B=(0,b,0) \)，\( C=(0,0,c) \)
\( \vec{AB}=(-a,b,0) \)，\( \vec{AC}=(-a,0,c) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}(|\ \vec{AB} |\ ^2 \cdot |\ \vec{AC} |\ ^2-(\vec{AB}\cdot \vec{AC})^2 ) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}((a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4)=\frac{1}{4}\cdot a^2 b^2+\frac{1}{4}\cdot b^2 c^2+\frac{1}{4}\cdot c^2 a^2 \)
\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2010-5-18 09:49 PM 編輯 [/i]] 請問計算第4題要怎麼做呢?
您好，想請教一下第5題 第7題 第8題如何作
您好，想請教一下第5題 第7題 第8題如何作，謝謝 bugmens 老師Jacobi 一、計算題，第 5 題
已知 \(x,y,z\) 均為實數，且 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^x} + {3^y} + {5^z} = 7} \\
{{2^{x - 1}} + {3^y} + {5^{z + 1}} = 11} \\
\end{array}} \right.\)，
若 \(t = {2^{x + 1}} + {3^y} + {5^{z - 1}}\)，試求 \(t\) 的範圍.
解答：
令 \(\displaystyle a=2^x, b=3^y, c=5^z\)，則
\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + b + c = 7} \\
{\displaystyle \frac{a}{2} + b + 5c = 11} \\
\end{array}} \right.\) 且 \(\displaystyle a,b,c>0\)，
得此兩平面部分交線段的參數式 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 0 + 8k} \\
{b = 6 - 9k} \\
{c = 1 + k} \\
\end{array}} \right.\)，
其中 \(\displaystyle a,b,c>0\Rightarrow 0<k<\frac{2}{3}\)
故，
\(\displaystyle t=2a+b+\frac{c}{5}=\frac{31+36k}{5}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{31}{5}<t<11.\)
第 8 題
設整數數多項式 \(A\left(x\right)\) 除以 \(x^2+1\)，餘式為 \(px+q\)，
若 \(f\left(A\left(x\right)\right)=pi+q\) 恆成立（其中 \(i\) 為虛數單位），
求 \(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}}\) 的值？
解答：
依題意，
因為 \(\displaystyle x^5+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(2x+1\)，
所以 \(\displaystyle f(x^5+x+1)=2i+1.\)
因為 \(\displaystyle x^{10}+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(x\)，
所以 \(\displaystyle f(x^{10}+x+1)=i.\)
故，
\(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}} = \frac{{i }}{2i+1} =\frac{2+i}{5}.\)
謝謝幫忙
謝謝上面老師的幫忙，解決了一些困擾Jacobi 請教第三題
為什麼Q為AC和BD的交點?
謝謝 [quote]原帖由 [i]johncai[/i] 於 2010-7-11 07:36 PM 發表 [url=http://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2427&ptid=797][img]http://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第三題
為什麼Q為AC和BD的交點?
謝謝 [/quote]
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=725&start=10]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=725&start=10[/url]
這位仁兄,問題除了這樣問以外
還可以利用網頁右上角的短消息! 恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎? [quote]原帖由 [i]johncai[/i] 於 2010-7-11 11:38 PM 發表 [url=http://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2430&ptid=797][img]http://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎? [/quote]
不一定要給原作
任何人(包括站主,板主)你都可以問
只要打上相對應的帳號即可
回復 3# omfun 的帖子
解1：若安全，1 的上方必為 2 或沒有。如果 2 在 1 上一層，那麼必是 3 在 2 上，或沒有東西在 2 上。
因此可類推至由上至下到 1 出現，必為連續正整數的型： \( k_{1},k_1-1,k_1-2,\ldots 1\)；
接著不看這 k_1 個，我們又會有相同之結論，即 1 的下方將是連續正整數 \( k_{1}+k_{2},k_{1}+k_{2}-1,\ldots,k_{1}+1 \)；
重覆推論得第一個大層 \( k_{1} \)個最小連續整，第一個大層 \( k_{2} \) 個剩於的最小連續整數…
第 j 層 \( k_{j} \) 個剩於最小的連續整數。其中 \( k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{j}=n \), \( k_{j} \) 為正整數。(總共分 j 大層)
所以共有 \( \sum_{j=1}^{n}H_{n-j}^{j}=\sum_{j=1}^{n}C_{n-j}^{n-1}=2^{n-1} \) 種不會傾倒的情形。
所求機率為 \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).
解2：
考慮以逐次插入的方式，依小到大的方式插入。
第一步，放一個 1。
第二步， 2 可選擇在 1 的上方或下方。
第三步，3 可放在 2 上方的位置，或最下。
而不能放在 1 上方的位置，因為往後愈來愈大，不可能在 3 和 1 中間放入可安全疊起的的方式。
第四步，同上， 4 僅能放在 3 上方的位置，或最下。
...
得安全的放法僅有 \( 2^{n-1} \)
因此所求機率為 \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2011-10-15 09:04 PM 編輯 [/i]]
回復 4# Jacobi 的帖子
第七題：令 \( \overline{PD}=x \), \( \overline{PE}=y \), \( \overline{FI}=z\)，則 \( x+y+z=1 \).
\( \triangle QRS \) 周長 \(=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} \).
令 \( a=x+yi \), \( b=y+zi \), \( c=z+xi \)，則周長 \(=|a|+|b|+|c| \).
由三等不等式得 \(=|a|+|b|+|c| \geq |a+b+c|=\sqrt{2} \).
等式成立為三向量平行，得 \( x=y=z=\frac{1}{3} \) 且 P 為重心。
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