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bugmens 發表於 2009-1-1 10:48 AM

我的教甄準備之路　101.1.1更新

隨著全教會教甄論壇於8/15走入歷史後,這段時間我再重新整理我手邊的筆記、考卷、講義等資料
整理出一系列的教甄資料,一邊整理的時候我也在物色哪個討論區能繼承全教會成為98數學教甄討論區
我的標準可以看這篇[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52061]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52061[/url]
我很高興我終於找到答案了,中選的原因是站內已有很多站長所回答的討論文章
而且題目都有切中教甄的方向,但最重要的是站長其實是我大學的學長
也感謝站長開放檔案上傳的功能,讓知識能傳承下去

補充資料：我的教甄準備之路(第一部份)
[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-1-1 10:45 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2009-1-1 10:59 AM

[img]http://img407.imageshack.us/img407/4746/openoffice3legokq6.gif[/img]
為了推廣Open Office,我的筆記都是用Open Office寫成的,不提供對應的pdf檔
Open Office 3可於這裡下載
[url]http://ftp.ntu.edu.tw/pub/OpenOffice/localized/zh-TW/3.3.0/[/url]
或直接下載
[url]http://ftp.ntu.edu.tw/pub/OpenOffice/localized/zh-TW/3.3.0/OOo_3.3.0_Win_x86_install-wJRE_zh-TW.exe[/url]
筆記內容多是針對某個主題的題目整理,當然預備知識還是要你自行看書或上網找資料補足
為了避免有心人將筆記拿來牟利,也請大家多加宣傳以抵制網路拍賣，畢竟在這裡下載不用花錢
再一次提倡環保觀念,列印時請雙面列印或利用回收紙列印,大家一起保護地球

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-3-26 08:55 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2009-1-1 11:40 AM

廣義的科西不等式
在高中常見的科西不等式其實還有一般形式,在少數的教甄題目可以得到很漂亮的解答
特別是名校的教甄有機會會考,所以這類題目千萬別忽視了。

2009.6.1再補上相關題目
\( a,b,c,d,e \)均為正實數，試證：
\( (1+a)(1+b)(1+c)(1+d)(1+e) \ge (1+\sqrt[5]{abcde})^{5} \)
高雄女中　雙週一題
[url=http://w3.kghs.kh.edu.tw/~math/problemtwoweek/20070423.doc]http://w3.kghs.kh.edu.tw/~math/problemtwoweek/20070423.doc[/url]


設\( a,b,c \)均為正實數。
(1)若\( abc=1 \)，求\( (a+2)(b+2)(c+2) \)之最小值
[提示]
\( (a+2)(b+2)(c+2)\ge (\sqrt[3]{abc}+2)^{3} \)
(2)若\( (1+a)(1+b)(1+c)=8 \)，則\( abc \)之最大值
[提示]
\( (1+a)(1+b)(1+c) \ge (1+\sqrt[3]{abc})^{3} \)
(高中數學101　P353)
原本的解法，[url=http://math.pro/db/thread-584-1-1.html]http://math.pro/db/thread-584-1-1.html[/url]

設\( x,y,z,w \)都是正實數，試證：
\( (1+x)(1+y)(1+z)(1+w)\ge (1+\sqrt[3]{xyz})(1+\sqrt[3]{yzw})(1+\sqrt[3]{zwx})(1+\sqrt[3]{wxy}) \)
(92高級中學數學科能力競賽決賽　獨立研究(一)試題)
[url=http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2004_Taiwan_High_Indp_01.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_01.pdf[/url]

2010.4.3補充
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是n个正数,满足\( a_1 a_2 ...a_n=1 \)，求证：\( (2+a_1)(2+a_2)...(2+a_n)\ge 3^n \)
(1989大陸高中數學聯賽)

2010.6.9補充
p為\( 4x^2+9y^2=36 \)上的動點，若p在第一象限移動，過p點之切線交X軸於A點，交Y軸於B點，O為原點，求\( \overline{OA}+\overline{OB} \)最小值？
(99彰化藝術高中，[url=http://math.pro/db/thread-952-1-1.html]http://math.pro/db/thread-952-1-1.html[/url])

2010.7.13補充
請問\( 2+\sqrt[3]{7} \)和\( \sqrt[3]{60} \)相比那個數大？
(胡安衡，歌西定理之一般形，數學傳播第八卷第一期)
可惜沒有開放pdf檔
[url=http://www.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=81]http://www.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=81[/url]

2010.8.22補充
設\( \theta \)為銳角，則\( 64sec^2 \theta+csc^2 \theta+16sec \theta csc \theta \)的最小值為？
(99基隆女中，[url]http://math.pro/db/thread-1024-1-1.html[/url])

2011.6.11補充
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為？
需列出算式，只寫答案不予計分
(100玉井工商，[url]http://math.pro/db/thread-1131-1-1.html[/url])

2011.8.7補充
a>b>0，橢圓Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)的切線L交座標軸於A、B兩點，求線段\( \overline{AB} \)的最小值？
(100北港高中，[url]http://math.pro/db/thread-1192-1-1.html[/url])

100.9.3補充
兩道高牆之間有一條直角彎道，兩段 垂直巷道的寬度分別是 a 與 b，如果要平舉一支竹竿順利通過彎道，這支直竿的長度，最長可以是多少 ?
(竹竿恆保持平行於地面且離地面高度不超過牆高)
[url]http://www.mathland.idv.tw/life/rtseg.htm[/url]

100.9.28補充
\( \displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{sin^3 \theta}{cos \theta}+\frac{cos^3 \theta}{sin \theta} \)之最小值？

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-9-28 10:39 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2009-1-1 11:53 AM

利用根與係數的關係解聯立方程式
這在解方程式的題目中算是比較少見的技巧，要看過才會知道怎麼處理。
至於第二部分求值的題目,既然97文華高中要91分才過初試,那這類題目也不能算是難題了。
97文華高中討論
[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781[/url]

6.25補充一題
已知\( x+y+z=2 \)，\( x^2+y^2+z^2=3 \)，\( x^3+x^3+z^3=4 \)，試求\( x^4+x^4+z^4 \)。
(98花蓮高工)[url=http://math.pro/db/thread-799-1-1.html]http://math.pro/db/thread-799-1-1.html[/url]

2010.5.8補充
99中壢家商也考同一題，答案都快背起來了\( \displaystyle \frac{25}{6} \)
[url=http://math.pro/db/thread-932-1-3.html]http://math.pro/db/thread-932-1-3.html[/url]

2010.7.10補充
已知\( \displaystyle \cases{x+y+z=5 \cr x^2+y^2+z^2=13 \cr x^3+y^3+z^3=41} \)，求\( x^4+y^4+z^4= \)？
(99文華高中代理，[url=http://math.pro/db/thread-1003-1-1.html]http://math.pro/db/thread-1003-1-1.html[/url])

2010.7.16補充
試問聯立方程式\( \displaystyle \cases{x+y+z=6 \cr x^2+y^2+z^2=14 \cr x^3+y^3+z^3=36} \)共有幾組解？
(A)1　(B)2　(C)4　(D)6
(99金門縣國中聯招)

2011.7.10補充
3個實數x,y,z，滿足下列三個等式
\( \displaystyle \cases{x+y+z=0 \cr x^3+y^3+z^3=3 \cr x^5+y^5+z^5=15} \)
試求\( x^2+y^2+z^2 \)的值？
(建中通訊解題第70期)

2011.9.12補充
已知a,b,c是三個互不相等的實數，試解關於x,y,z的方程組
\( \displaystyle \cases{\frac{x}{a^3}-\frac{y}{a^2}+\frac{z}{a}=1 \cr \frac{x}{b^3}-\frac{y}{b^2}+\frac{z}{b}=1 \cr \frac{x}{c^3}-\frac{y}{c^2}+\frac{z}{c}=1} \)
[答案]
\( x=abc \)，\( y=ab+bc+ca \)，\( z=a+b+c \)

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-9-12 10:56 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2009-1-2 07:14 AM

用算幾不等式解三角函數的極值
這類型的題目在PTT數學版曾經出現過兩次,當網友看到解法時總是驚嘆解法實在是太有技巧性了
但你只要多作過幾題,就會發現解法其實都差不多
教甄好像還沒考過類似題目,假如你是出題老師也不妨考慮看看。


2010.4.29補充
將長為a的桿子三根沿著河岸圍成一個等腰梯形，試求此梯形的最大面積？
(師大數學系教授 黃文達　資優數學研習營基本不等式講義)
[url=http://www.google.com/search?client=opera&rls=zh-tw&q=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%B3%87%E5%84%AA%E7%87%9F%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AC%9B%E7%BE%A9+2006-02-12%28%E9%BB%83%E6%96%87%E9%81%94%29.doc&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8]http://www.google.com/search?client=opera&rls=zh-tw&q=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%B3%87%E5%84%AA%E7%87%9F%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AC%9B%E7%BE%A9+2006-02-12(%E9%BB%83%E6%96%87%E9%81%94).doc&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8[/url]

2010.7.19補充
設函數\( f(x)=cosx \cdot sin^3 x \)的極大值為\( M \)，極小值為\( m \)，則求數對\( (M,m) \)之值為何？
(99大安高工代理，[url=http://math.pro/db/thread-1014-1-1.html]http://math.pro/db/thread-1014-1-1.html[/url])

2010.12.18補充
利用三根10公尺的竹竿，沿著河岸圍出一個等腰梯形。試問此等腰梯形的最大面積為[u]　　[/u]平方公尺。
88高中數學能力競賽　宜花東區試題
[url]http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2000_Taiwan_High_Ilan_02.pdf[/url]

2011.6.28補充
△ABC中∠C為直角，D為\( \overline{BC} \)上一點，\( \overline{AD}=\overline{BD}=1 \)，求△ABC面積的最大值？
[提示]
令\( ∠ADC=\theta \)，\( \overline{AC}=sin \theta \)，\( \overline{CD}=cos \theta \)
\( △ABC=\frac{1}{2}\times (1+cos \theta)sin \theta \)

101.2.1補充
在某機械設計中，已知\( \overline{AB}=\overline{AC}=a \)，\( \overline{CD}⊥\overline{BD} \)，\( ∠CAD=\theta \)，當\( \theta \)為何值時，△BDC的面積最大，並求出最大值？
(張奠宙、戴再平，生活中的中學數學P84)

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-2-1 11:42 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2009-1-3 06:42 AM

邊長為正整數的三角形
相較於前面幾個單元,這部分的題目就比較簡單,各位可以試著做看看。

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2009-1-4 09:10 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2009-1-4 09:12 AM

a+b=1求極值
這算是教甄比較冷門的題目,只要有個印象就好了

100.5.29
設\( a,b \)為正實數，滿足\( a+b=1 \)，試求\( \displaystyle ab+\frac{1}{ab} \)的最小值？
(100新北市高中聯招，[url]http://math.pro/db/thread-1114-1-1.html[/url])

100.6.10
已知\( a,b,c \)為正數且\( a+b+c=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{1}{a}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{b}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{c}-1 \Bigg)\; \)的最小值為？
(100成淵高中，[url]http://math.pro/db/thread-1128-1-1.html[/url])
難得筆記中了一題，看來這類題目也不能算是教甄冷門題目了。

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-10 09:55 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2009-2-22 07:21 AM

面積法
有些題目在敘述時雖然沒提到面積，但面積公式反而是解題的關鍵，這次的筆記我收錄了許多教甄曾考過的題目，下次在看到類似圖形時不妨從面積來著手，另外初中數學競賽教程還有更多關於面積法的題目說不定就從這裡出題

2010.5.9補充
設H為△ABC之垂心，且\( \overline{AH}=l \)，\( \overline{BH}=m \)，\( \overline{CH}=n \)，\( \overline{BC}=a \)，\( \overline{CA}=b \)，\( \overline{AB}=c \)，試證：\( \displaystyle \frac{a}{l}+\frac{b}{m}+\frac{c}{n}=\frac{abc}{lmn} \)。
(99中二中)
[提示]
△HBC+△HCA+△HAB=△ABC
\( \displaystyle \frac{amn}{4R}+\frac{bln}{4R}+\frac{cml}{4R}=\frac{abc}{4R} \)，R為外接圓半徑

2010.9.25補充
某人在O點測量到遠處有一物體正在作等速直線運動，開始時該物體在位置P點，一分鐘後，位置在Q點且\( ∠POQ=90^o \)，再過一分鐘後，該物體位置會在R點，且\( tan(∠QOR)=2 \)，試求\( tan(∠OPQ) \)的值為何？(1) 1　(2) \( \displaystyle \frac{1}{2} \)　(3) \( \displaystyle \frac{1}{3} \)　(4) \( \displaystyle \frac{1}{4} \)　(5) \( \displaystyle \frac{1}{5} \)
(2010北區第一次學測RA146.swf)

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2010-9-25 08:46 PM 編輯 [/i]]

mandy 發表於 2009-7-19 03:29 PM

請問 高雄女中與92高級中學數學科能力競賽決賽　獨立研究(一)試題)的廣義柯西不等式題
如何證明 ?

bugmens 發表於 2009-8-18 09:08 PM

前文有提到"預備知識還是要你自行看書或上網找資料補足"
所以有些題目我沒有給任何的提示或解答,以免網友以為這裡有現成的魚可吃
準備高中教甄本來就是艱辛而漫長的路,絕對沒有一蹴可幾的方法,唯有多充實自己才是戰勝教甄的不二法門　共勉之。

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2009-9-1 05:46 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2009-9-1 06:06 AM

裂項相消
在數列與級數都會提到\( \displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+...+\frac{1}{n \cdot (n+1)} \)這類的題目，將每一項分成一個加和一個減的兩項造成相消，所以才被稱為裂項相消。
歷屆教甄還考了很多題用到裂項相消的題目，這次的筆記值得各位網友用心準備。

2009.10.10補充
[url=http://math.pro/db/thread-442-1-4.html]http://math.pro/db/thread-442-1-4.html[/url]
出自
[url=http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2002_Taiwan_High_Ilan_02.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Ilan_02.pdf[/url]

2009.10.27補充
1*1!+2*2!+3*3!+...+250*250! (mod 2008)
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=304317]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=304317[/url]

2009.11.29補充
數列\( \{y_n \} \)滿足\( y_1=1 \)且\( \displaystyle y_{k+1}=\frac{1}{2}y^2_k+y_k \)，\( k=1,2,3,... \)，已知\( \displaystyle A \le \frac{2}{y_1+2}+\frac{2}{y_2+2}+...+\frac{2}{y_{2008}+2}<A+1 \)，其中A為整數。試求A之值。
(97高中數學能力競賽　台灣省第二區筆試(一)試題)

2009.12.06補充
設一數列\( \{a_n\} \)滿足\( a_1=2 \)，\( a_{n+1}=a_1 a_2 a_3 a_4...a_n+1 \)試證明：\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_1}<1 \)
(中一中　合作盃數學金頭腦　第11次有獎徵答)

2010.1.22補充
Let \( S=1!(1^2+1+1)+2!(2^2+2+1)+3!(3^2+3+1)+...+100!(100^2+100+1) \). What is the value of \( \displaystyle \frac{S+1}{100!} \)
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=326518]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=326518[/url]

2010.2.23補充
\( \displaystyle g(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}} \).
\( \displaystyle \frac{1}{g(1)}+\frac{1}{g(3)}+...+\frac{1}{g(999999)}= \)？
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=333174]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=333174[/url]

2010.2.27補充
設\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n} \)，\( n=0,1,2,... \)。已知\( a_0=1 \)，則\( a_{2008}= \)？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
[url=http://www.math.ntnu.edu.tw/exam/hs/97/exam/97_hsinchu_exam2.pdf]http://www.math.ntnu.edu.tw/exam/hs/97/exam/97_hsinchu_exam2.pdf[/url]

2010.3.21補充
Evaluate:\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k \sqrt{k+2}+(k+2)\sqrt{k}} \)
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=339716]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=339716[/url]

2010.4.18補充
求\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \)的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)

2010.5.27補充
求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{997}(-1)^k C_k^{1998} \)的值。
[提示]
\( \displaystyle C_k^n=C_{k-1}^{n-1}+C_k^{n-1} \)

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n+3}{(2n-1)(2n+1)}5^{n-1} \)
[提示]
\( \displaystyle \frac{4n+3}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{5}{2(2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)} \)

2010.7.5補充
求\( \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{64\sqrt{63}+63\sqrt{64}} \)之值為多少？
(A)\( \displaystyle \frac{5}{7} \)　(B)\( \displaystyle \frac{5}{6} \)　(C)\( \displaystyle \frac{7}{8} \)　(D)\( \displaystyle \frac{8}{9} \)
(99南台灣國中聯招)

2010.7.8補充
求\( \displaystyle \frac{1}{4 \times 1^4+1}+\frac{2}{4 \times 2^4+1}+\frac{3}{4 \times 3^4+1}+...+\frac{100}{4 \times 100^4+1} \)
第六屆培正數學邀請賽，決賽（中一組）
[url=http://www.mathdb.org/resource_sharing/c_resource_06.htm]http://www.mathdb.org/resource_sharing/c_resource_06.htm[/url]
[提示]
\( \displaystyle \frac{n}{4n^4+1}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2n^2-2n+1}-\frac{1}{2n^2+2n+1}) \)

2010.7.19補充
級數\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^4+n^2+1}= \)？
①\( \displaystyle \frac{1}{2} \)　②\( \displaystyle \frac{1}{4} \)　③\( \displaystyle \frac{1}{3} \)　④\( \displaystyle \frac{1}{6} \)
(99中區六縣市策略聯盟國中聯招)

2010.10.3補充
Find sum of infinite series.
\( \displaystyle \frac{3}{4}+\frac{5}{36}+\frac{7}{144}+\frac{9}{400}+\frac{11}{900}+... \)
[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=369797]http://www.artofproblemsolving.c ... .php?f=150&t=369797[/url]

2010.10.16補充
Let \( \displaystyle a_n=\sqrt{1+(1-\frac{1}{n})^2}+\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^2} \)，\( n \ge 1 \). Evaluate \( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{20}} \).
[url=http://purplecomet.org/welcome/practice]http://purplecomet.org/welcome/practice[/url]　的Fall 2003 Meet

2010.11.25補充
\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{4 \times 2^2}{(2^2-1)^2}}+\sqrt{1+\frac{4 \times 3^2}{(3^2-1)^2}}+\sqrt{1+\frac{4 \times 4^2}{(4^2-1)^2}}+......+\sqrt{1+\frac{4 \times 20^2}{(20^2-1)^2}}= \)？
2009年青少年數學國際城市邀請賽　參賽代表遴選決賽

2011.1.9補充
Let n be a natural number.Prove that
\( \displaystyle \Bigg\lfloor\; \frac{n+2^0}{2^1} \Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^1}{2^2} \Bigg\rfloor\;+...+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^{n-1}}{2^n} \Bigg\rfloor\;=n \).
(1968IMO，[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=16&year=1968]http://www.artofproblemsolving.c ... =1&cid=16&year=1968[/url])
點題號有解答

2011.1.15補充
數列\( \{a_n\} \)滿足\( a_1=1 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} \)，求\( a_{100} \)的整數部分？
[提示]
\( \displaystyle a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2} \)，再證明\( \frac{1}{a_n^2}\le \frac{1}{2^2} \)，\( n \ge 2 \)

2011.1.16補充
設\( \displaystyle S_n=\frac{1}{3P_1^1}+\frac{1}{4P_2^2}+\frac{1}{5P_3^3}+...+\frac{1}{(n+2)P_n^n} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n \)。
(98士林高商，[url]http://math.pro/db/thread-890-1-1.html[/url])

2011.3.2補充
Find the value of \( \displaystyle \frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+2}+\frac{1}{5^2+3}+... \).
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=394473[/url]

2011.5.29補充
數列\( \displaystyle \frac{8 \cdot 1}{1^2 \cdot 3^2}，\frac{8 \cdot 2}{3^2 \cdot 5^2}，\frac{8 \cdot 3}{5^2 \cdot 7^2}，...，\frac{8 \cdot 8n}{(2n-1)^2 \cdot (2n+1)^2}，... \)，若\( S_n \)表前n項之和，且\( \displaystyle S=\lim_{n \to \infty}S_n \)，
(1)求\( S_n \)及S　(2)求使\( \displaystyle S-S_n<\frac{1}{10000} \)成立的最小自然數n的值
(100嘉義女中，[url]http://math.pro/db/thread-1115-1-1.html[/url])

2011.6.26補充
若\( n=1+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+50 \cdot 50! \)則n除以50的餘數為
(A) 13　(B) 23　(C) 29　(D) 49
(100全國高中聯招，[url]http://math.pro/db/thread-1163-1-1.html[/url])

設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n \)？
(100麗山高中第二次，[url]http://math.pro/db/thread-1164-1-1.html[/url])

2011.6.30補充
已知\( n \in N \)，設方程式\( x^2+(\frac{1}{2}n+1)x+(n^2-2)=0 \)的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)，則\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+2)(\beta_3+2)}+\frac{1}{(\alpha_4+2)(\beta_4+2)}+....+\frac{1}{(\alpha_{2011}+2)(\beta_{2011}+2)} \)？
(100台北市中正高中二招，[url]http://math.pro/db/thread-1169-1-1.html[/url])

2011.8.13補充
已知數列\( <a_n> \)的一般式為\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，n為正整數，其前n項為\( S_n \)，則在數列\( S_1，S_2，...，S_{2011} \)中，有理數項共有幾項？
(建中通訊解題第74期)

100.9.3補充
設\( \displaystyle A=\sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}} \)，則不超過A的最大整數為何？
建中通訊解題　第88期

100.9.17補充
設\( a_0=1 \)，\( a_1=3 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2} \)，\( n \ge 1 \)，試求
\( \displaystyle \frac{1}{a_0+1}+\frac{1}{a_1+1}+...+\frac{1}{a_n+1}+\frac{1}{a_{n+1}-1} \)，\( n \ge 1 \)
(1001中山大學雙週一題　第一題)

100.10.1補充
設數列\( {a_n} \)滿足，\( a_1=3 \)且\( 2a_{n+1}=a_n^2-2a_n+4 \)，\( n=2,3,4,... \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{a_i} \Bigg]\; \)之值為何？
([x]：表不大於x的最大整數)
(99高中數學能力競賽　屏東區筆試二試題，[url]http://math.pro/db/thread-1051-1-8.html[/url])

100.10.7補充
求\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)(k+5)} \)之值？
(100育成高中代理，[url]http://math.pro/db/thread-1204-1-1.html[/url])

100.10.22補充
\( \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{C_k^{10+k}}= \)？
[url]http://blog.udn.com/ivan5chess/3978899[/url]

100.10.23補充
證明\( \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)k!}=1 \)
張福春、曾介玫，一般生成函數之應用，數學傳播
[提示]
\( \displaystyle \frac{1}{(k+2)k!}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{k+2}{(k+2)!}-\frac{1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)

101.1.1補充
設\( \displaystyle f(n)=\frac{2n-1+\sqrt{n(n-1)}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \)，求\( f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(2010) \)值。
(99臺中一中學術性向資賦優異學生鑑定數學科實作測驗試題)
[url=http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/mathtest.htm]http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/mathtest.htm[/url]
[url=http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf]http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf[/url]

101.1.31補充
數列的第n項等於\( n(n+1)(n+2)(n+3) \)，則該數列的前n項和為？
[url]http://www.webezgo.com.tw/~tsea/xiwanbei/2008%20xiwanbei/2008theme/F4.pdf[/url]
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)= \)？
[url]http://math.pro/db/thread-1281-1-1.html[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-1-31 10:28 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2010-1-1 01:27 PM

圓錐曲線的光學性質

往年教甄常考的是圓錐曲線和另一條直線相切的題目，但我比較欣賞橢圓撞球檯問題，想不到光學性質可以出的這麼有創意。
部分的題目來自賴老師工作室[url=http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/index.htm]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/index.htm[/url]

祝各位教師新年快樂。

2010.1.28補充
在坐標平面上，一拋物線的對稱軸為\( 2x-y=5 \)，拋物線與直線\( x=1 \)相切於\( (1,1) \)，則拋物線的焦點坐標為？(RA453.swf)

2010.3.12補充
橢圓Γ的兩個焦點分別為，F(5,2)，F'(2,6)，且已知橢圓Γ與y軸相切，試求橢圓的長軸長？
(95彰化女中，[url=http://math.pro/db/thread-790-1-1.html]http://math.pro/db/thread-790-1-1.html[/url])

2010.6.19補充
一橢圓兩焦點為\( F_1 (-3,5) \)，\( F_2 (-10,9) \)且與\( y=x \)相切，求橢圓的長軸長？
(99萬芳高中，[url=http://math.pro/db/thread-969-1-1.html]http://math.pro/db/thread-969-1-1.html[/url])

2010.6.21補充
一道光線通過雙曲線的一個焦點\( F(-2,1) \)，射至雙曲線上一點\( P(-4,5) \)，反射後朝A點射去，若此雙曲線中心在\( (1,1) \)，且\( \overline{PA}=3 \sqrt{5} \)，則a點座標為。
(99關西高中，[url=http://math.pro/db/thread-966-1-1.html]http://math.pro/db/thread-966-1-1.html[/url])

2010.6.26補充
若某橢圓的兩焦點為(0,0)、(0,4)，且此橢圓與直線\( x+y+1=0 \)相切，則此橢圓的長軸長為
(A)\( \sqrt{26} \)　(B)\( \sqrt{23} \)　(C)\( \sqrt{22} \)　(D)\( \sqrt{17} \)
(99全國高中聯招，[url=http://math.pro/db/thread-978-1-1.html]http://math.pro/db/thread-978-1-1.html[/url])

2010.7.24補充
若坐標平面上有一橢圓與x軸相切，且其焦點為\( F_1(2,1) \)與\( F_2(6,2) \)，則此橢圓的短軸長？
(99中興高中，[url]http://math.pro/db/thread-1013-1-1.html[/url])

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-24 05:34 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2010-5-16 02:51 PM

多項式連乘

這份筆記很久以前就整理好了，只是教甄沒考過這類題目就算公佈了也可能不受考生青睞，所以就一直壓著。
看似多項式的題目但實際上用到二進位和排列組合的觀念，算是很漂亮的題目，還是要感謝99桃園縣高中聯招的出題老師，讓這份筆記能重見天日。
[url=http://math.pro/db/thread-939-1-1.html]http://math.pro/db/thread-939-1-1.html[/url]

99.11.10補充
若\( (1+x)(1+2x^3)(1+3x^9)(1+4x^{27})(1+5x^{81}) \)的展開式，依升冪排列為\( 1+b_1x^{a_1}+b_2x^{a_2}+b_3x^{a_3}+...+b_{31}x^{a_{31}} \)，其中\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)是兩個正整數的數列，且\( 1=a_1<a_2<a_3<...<a_{31} \)，則\( a_1+a_2+a_3+...+a_{31}= \)？
(2010TRML個人賽)

100.5.25補充
感謝thepiano提供兩題的解答
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2511[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-25 04:12 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2011-1-1 02:01 PM

三角形的面積

為了慶祝中華民國建國100週年，我將我手邊最有份量的筆記放上來，有些比較難的題目我有附上算式，沒有附的再請各位網友自己算算看。

[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Flag_of_the_Republic_of_China.svg/120px-Flag_of_the_Republic_of_China.svg.png[/img]

2011.3.5補充
已知直角三角形的周長為\( 2+\sqrt{6} \)，斜邊上的中線長為1，求三角形的面積？
2012.1.8補充
有一個直角三角形，斜邊上的中線長為1，周長為\( 2+\sqrt{6} \)，求此三角形的面積為？
(100卓蘭實驗高中，[url]http://math.pro/db/thread-1165-1-1.html[/url])

2011.6.29補充
若一等腰三角形的底邊上的高等於18cm，腰上的中線等於15cm。則這個等腰三角形的面積等於？
(初中數學競賽指導)

在△ABC中，\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，D為\( \overline{AC} \)的中點，且\( \overline{BD}=\sqrt{3} \)。試問當∠BAC為何值時，△ABC的面積有最大值？此面積最大值為何？
(94高中數學能力競賽　南區(高雄區)　筆試一試題，
[url]http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_KaohsiungCity_01.pdf[/url])

△ABC has an incircle with radius 2. If \( \displaystyle tan∠A=- \frac{4}{3} \), what is the minimum area of △ABC？
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=396290[/url]

2011.7.6補充
設△ABC中\( \overline{AB} \)邊上有一點D，滿足\( \overline{AD}=2 \)，\( \overline{DB}=1 \)，\( \overline{CD}=\sqrt{2} \)。若△ABC的外接圓半徑等於\( \sqrt{3} \)，試求△ABC的面積。
[提示]
正弦定理求出\( ∠C=60^o \)
假設\( \overline{AC}=a \)，\( \overline{BC}=b \)
△ABC中餘弦定理得\( a^2+b^2-ab=9 \)
\( cos∠ADC=-cos∠BDC \)得\( a^2+2b^2=12 \)
解出\( a^2=6+2 \sqrt{6} \)，\( b^2=3-\sqrt{6} \)
△ABC面積\( \displaystyle \frac{1}{2} \cdot ab sin C \)
(89高中數學能力競賽　全國決賽口試試題，[url]http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2001_Taiwan_High_Oral.pdf[/url])
(89高中數學能力競賽　獨立研究三試題，[url]http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2001_Taiwan_High_Indp_03.pdf[/url])


2011.7.10補充
△ABC是直角三角形，斜邊長13。兩股長是a,b，也是x的方程式\( x^2-(2m+7)x+4m(m-2)=0 \)的兩個根，試求△ABC的面積。
(建中通訊解題第55期)

2011.8.13補充
如圖，正方形ABCD中，\( \overline{AB}=\sqrt{3} \)，E,F兩點分別在\( \overline{BC},\overline{CD} \)邊上，且\( ∠BAE=30^o,∠DAF=15^o \)，求△AEF的面積？
(建中通訊解題第74期)

100.9.28補充
直角三角形ABC，\( ∠B=90^o \)，∠B的角平分線交\( \overline{AC} \)於D，且\( \overline{AD}=6 \)，\( \overline{AC}=15 \)，則三角形ABC面積？

100.12.3補充
設\( O(0,0,0) \)，\( A(a,b,c) \)，\( B(b,c,a) \)，\( C(c,a,b) \)，過ABC三點的平面方程式為\( x+y+z=1 \)，且\( \overline{OA}⊥ \overline{OB} \)，求△ABC的面積？

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-1-8 11:19 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2011-8-13 09:06 AM

這次我不分享教甄筆記，我來介紹一本書給各位。
[align=center][img=200,280]http://im2.book.com.tw/exep/lib/image.php?image=http://addons.books.com.tw/G/001/3/0010437713.jpg&width=200&height=280&quality=80[/img]
[/align][align=center]
書名：如何學好中學數學
作者：任維勇　　　　　
出版社：天下文化　　　[/align]


或許書中有些學習方法大家都已經耳熟能詳了，但我特別要推薦的是第三章的第八單元 － 構築解題策略。
那該如何構築解題策略呢，我僅節錄書中部份內容，還有試閱版可以下載：
[url=http://www.bookzone.com.tw/event/ws401/download.asp]http://www.bookzone.com.tw/event/ws401/download.asp[/url]

當我們學完一個段落的基本運算題與標準題，或許也做過一些思考題之後，就可以試著建立共通的解題策略。首先，可以靜下來想幾個問題：

一、 這個段落大致有哪些題目？這些題目有什麼共通性？有什麼條件？有什麼求解？這些條件、求解常常如何使用？將來在一堆混合的題目裡，要怎麼發現是這一類題目？
二、 在解決這些題目時，會用到哪些工具(定義、公式、定理)？什麼樣的條件或求解下，會用到什麼工具？如果用到多種不同的工具，能不能找到它們使用上的差異？在什麼時機應該使用哪一種工具？
三、 在解決這些題目時，有沒有用到什麼共通的結構？也就是有沒有什麼共同的模式可以依循？
　　將這些問題想一想，就會有一些小結論，而且是我們自己得到的結論，而這時候我們所學的一堆個別的題目，才會開始融合成具體的觀念。

　　接下來，你可以做更多的變化題了，看到類似的條件或求解，也許運用你自己的策略，就可以解出你從未見過的題目，享受一下那種成就感吧！當然，也可能你還是解不出來，這時不妨看看解答，再想一想，自己的解題策略是不是可以再擴大或修改一些？有時你也會發現，其實自己的策略能用，只是沒想到也能這樣用。

　　當我們不斷接觸新的題目，加入新的策略，或更活用原有的策略，我們的解題能力也越來越強，對自己策略的信心也越來越強。




面對教甄越來越多的題目，你是否有自己的解題策略？例如看到題目求三角形面積時，你心中是否知道有哪些方法可以使用，接下來判斷這題的條件能用哪個公式，進而解出答案。又如解遞迴數列的一般項，你能否列舉出有哪些題型，萬一特徵方程式的根重根該怎麼辦？假如事前有好好思考的話，考試時看到題目就不會有無從著力的感覺。

各位所下載的教甄筆記其實就是我所建構的解題策略，有些看起來大相逕庭的題目若深究其中的解法的話就會發現有相似之處。而且我會到處找資料來充實自己的筆記內容，當你看的題目越多你就越能整理出屬於自己的解題策略。

只是在整理過程中非常耗費時間和心力，整理到後來連題目出處都背起來了，雖然辛苦卻覺得非常有成就感，除了已經公佈的10個教甄筆記之外，我手邊還有20個不同主題的筆記等待最佳時機再與各位見面。

各位也別來信問什麼時候會再公佈筆記，反倒是希望藉由這篇文章來提倡各位也動手整理出屬於自己的筆記，舉凡曾經錯過或是特殊技巧的都可以整理起來，這會你在是考試前的最佳夥伴。


也感謝billyhun提供筆記照片檔讓各位知道該如何整理出屬於自己的筆記。
各位可以參考billyhun所整理的遞迴數列單元，像100東山高中就考特徵方程式為重根的情況
再看哪些學校曾經考過黎曼和，還有更多內容都在這裡。

[url=http://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid4238]http://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid4238[/url][/align]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-8-13 09:16 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2012-1-1 10:43 AM

1.緣起
這個速算法原本是我準備用在考試的絕招，只是在我考試時都沒遇到這題
直到100年反而考了兩次，其中的道理當然要等個特別的時機再來發表

空間中10個相異平面，最多能將空間分割成個____區域？
(100苑裡高中，[url]http://math.pro/db/thread-1178-1-1.html[/url])
空間中n個平面最多能將空間分成幾個部分？
(100基隆女中代理)

一開始我是在"遞歸關係60例"看到的
[attach]879[/attach]
[attach]880[/attach]

設\( W_n \)表示用n個處於一般位置的k-1維超平面把k維空間劃分成區域的個數，則\( Wn=C_n^0+C_n^1+...+C_n^k \)



2.Jakob Steiner
只是書上沒提到是哪位數學家所證明的，我只好在google就亂試關鍵字搜尋
divide space plane how many partition Split這些我都試過了
但我能找到的都是平面切空間用遞迴的解法,才知道這是Jakob Steiner所證明的

[url]http://mathworld.wolfram.com/SpaceDivisionbyPlanes.html[/url]
Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions: Combinatorial analysis and probability theory
第104頁
[url]http://books.google.com.tw/books?id=aVLLYiu8hs0C&printsec=frontcover&hl=zh-TW#v=onepage&q&f=false[/url]

100 Great Problems of Elementary Mathematics
第283頁Steiner's Division of Space by Planes
100個著名初等數學問題歷史和解答
第67題 斯坦納的用平面分割空間
[url]http://books.google.com.tw/books?id=i4SJwNrYuAUC&printsec=frontcover&hl=zh-TW#v=onepage&q&f=false[/url]
這裡有Steiner的論文名稱,只是google找不到內文
Einige Gesetze über die Teilung der Ebene und des Raumes
[url]http://www.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/67.pdf[/url]

Steiner生平介紹
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Jakob_Steiner[/url]
[url]http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/steiner.html[/url]



3.Ludwig Schläfli
但n維空間的情況還是沒找到，就這樣陸續找了一個月(有空就google,沒空就放著)後終於找到了
Arrangements of Hyperplanes
第1頁
[url]http://books.google.com.tw/books?id=IgJrzHYBQp0C&printsec=frontcover&hl=zh-CN&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false[/url]

The general formula \( 1+n+C_2^n+C_3^n+...+C_m^n \)，
for the case of an m-dimensional cheese, was obtained by L.Schläfli on page 39 of his great posthumous work, Theorie der vielfachen Kontinuität(Denkschriften der Schweizerischen naturforschenden Gesellschaft, vol.38, 1901).

我還特地跑到淡江圖書館找這本書，但我只看得懂第1頁，後面所寫的就看不懂了
[attach]881[/attach]

知道正確的關鍵字之後，google就有很多資料
[url]http://www.google.com.tw/search?client=opera&rls=zh-tw&q=hyperplane+arrangement&sourceid=opera&ie=utf-8&oe=utf-8&channel=suggest[/url]

而Ludwig Schläfli所寫的這本書在淡江圖書館找不到，我也不可能花錢買這本書來看，所以我也不知道這該怎麼證
[url]http://www.amazon.co.uk/Theorie-vielfachen-Kontinuität-Ludwig-Schlafli/dp/1429704810[/url]

Ludwig Schläfli生平介紹(中文)
[url]http://www.dimensions-math.org/Dim_CH3_ZH_tr.htm[/url]
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Schläfli[/url]

另外我還找到這個網頁，內容才兩頁這就是證明嗎？我也不知道
[url]http://www.whim.org/nebula/math/spacediv.html[/url]



4.其他資料
在100個著名初等數學問題歷史和解答一書中也收錄了好幾個由Steiner所研究的問題，這裡還可以下載他所寫的書
[url]http://openlibrary.org/books/OL23388050M/Einige_geometrische_betrachtungen_von_Jacob_Steiner_(1826.)[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-1-1 10:48 AM 編輯 [/i]]

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