橢圓求焦點，求聯立方程式 x^2+y^2=4 且 x+y+z=0 的兩焦點
題目：求聯立方程式 \(x^2+y^2=4\) 且 \(x+y+z=0\) 的兩焦點‧解答：
設與圓柱 \(x^2+y^2=4\) 及平面 \(x+y+z=0\) 同時相切的內切球方程式為
\[ x^2+y^2+(z-t)^2 = 4 \]
由圓心到平面的距離=半徑，
可得
\[ \frac{\left|0+0+t\right|}{\sqrt{3}} = 2, \]
故 \(t = \pm 2 \sqrt{3}.\)
再利用點到面的投影點公式，
求出圓心 \( \left(0, 0, \pm 2 \sqrt{3}\right) \) 在 \(x+y+z=0\) 上的投影點即為兩焦點.
原討論串：[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052[/url]
97年國立大里高中教甄題目（數學科）：[url=http://www.scribd.com/doc/3562840/97]http://www.scribd.com/doc/3562840/97[/url] 承上題的類似題，
題目：
圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 和平面 \(2x+3y=5\) 交一雙曲線，求此雙曲線的焦點、貫軸頂點座標
題目改自 jisam 問的 [url=http://math.pro/db/thread-864-1-1.html]http://math.pro/db/thread-864-1-1.html[/url] 此題。
感謝 bugmens 介紹此題目的原始出處 [url=http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41341]http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41341[/url]
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解答：
設在直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 的內部區域與其相切之圓的圓心為 \((0,0,t)\)，
則畫圖，看出半徑為 \(r=\displaystyle\frac{|t|}{\sqrt{2}}\)，
利用此圓與平面 \(2x+3y=5\) 相切（圓心到平面的距離＝半徑），
得
\[
\frac{|2\times0+3\times0+0\times t-5|}{\sqrt{2^2+3^2+0^2}}=\frac{t}{\sqrt{2}}
\]
\[\Rightarrow t=\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.
\]
故與直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 及平面 \(2x+3y=5\) 皆相切之圓的圓心為 \(\displaystyle (0,0,\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}})\)，半徑為 \(\displaystyle r=\frac{5}{\sqrt{13}}\)，
再利用點到面的投影點公式，
求出圓心在 \(2x+3y=5\) 上的投影點即為兩焦點 \(F_1, F_2\) 為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\right)\).
而要求貫軸頂點的話，（以下也是畫圖慢慢看出來的）
由 \(F_1, F_2\) 往上、下（向 \(z=0\) 平面靠近）分別移動 \(\displaystyle r\tan 22.5^\circ=\frac{5}{\sqrt{13}}\left(\sqrt{2}-1\right)\)，
即可得貫軸的兩頂點為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5}{\sqrt{13}}\right)\).
參考資料： Dandelin Spheres ─ [url=http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html]http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html[/url]
回復 2# weiye 的帖子
請問tan22.5度是怎麼看出來的？回復 3# casanova 的帖子
因為我不太會畫立體圖，所以畫了如附加檔案的剖面側視圖，
圖中 \(\overline{QF_1}=r\)，可得 \(\overline{A_1F_1}=r\tan22.5^\circ\)
\(A_1\) 點即為其中一個貫軸上的頂點。
（如果您看得懂圖，應該就會知道另一個頂點在哪裡～^__^）
回復 4# weiye 的帖子
謝謝你喔！雖然沒有立體圖形，但這剖面側視圖也很清楚。
另一個貫軸的頂點是，以平面z=0為對稱平面，A1的對稱點對吧？！
回復 5# casanova 的帖子
是滴，沒錯！ ^__^頁:
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