排列組合題目，圓被半徑分成n個區域，相鄰塗異色
一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n[解]設用k種顏色塗n個區域,相鄰異色塗法有[color=red][color=black]a_n[/color],則a_n+a_n-1=k(k-1)^n-1[/color]
紅色部分是如何來的呢?麻煩知道老師能分享一下,謝謝! [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-4-13 01:32 PM 發表 [url=http://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=656&ptid=499][img]http://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n
[解]設用k種顏色塗n個區域,相鄰異色塗法有[color=red][color=black]a_n[/color],則a_n+a_n-1=k(k-1)^n-1[/color]
紅色部分是如何來的呢?麻煩知道老師能分享一下,謝謝! [/quote]
[img]http://img329.imageshack.us/img329/5122/97748804hh2.jpg[/img]
如上圖，
由第 1 區開始圖顏色，有 k 種顏色可以用，
第 2 區必須跟第 1 區異色，所以有 k-1 種顏色可以用，
第 3 區必須跟第 2 區異色，所以有 k-1 種顏色可以用，
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第 n-1 區必須跟第 n-2 區異色，所以有 k-1 種顏色可以用，
第 n 區必須跟第 n-1 區異色，所以有 k-1 種顏色可以用。
所以以上共有 k(k-1)^{n-1} 種塗色法。
可是這個數據並不是 a_n ，因為第 n 區可能跟第 1 區同色或是異色，
所以這個數據包含有 n 個區域相鄰塗異色，以及 n-1 個區域相鄰塗異色(第 n 區與第 1 區同色)的情況，
所以這個數據是 a_n + a_{n-1}，故 a_n + a_{n-1} = k(k-1)^{n-1} for all n>=3，
再加上遞迴關係式的初始條件 a_1 = k 與 a_2=k(k-1) ，可以求出 a_n (以 n 及 k 表示)。
[color=Red][b]註：a_1 + a_2 並不會滿足上面的遞迴關係式，但是 a_2 + a_3, a_3 + a_4, .... 之後才會滿足上面的遞迴條件。[/b][/color]
[color=Red][b] 感謝 ptt 的 moun9 網友提醒。2011/04/10[/b][/color]
額外的補充：這個題目也可以改成 k 個球員要互相傳籃球的問題，教練隨便選一球員，由該球員開始傳球給其他人，此 k 位球員互傳了 n+1 次之後，又回到剛開始第一個傳出去的球員的手上，求方法數。做法跟上面一模一樣。
解題的其它部分，在全教會的 thepiano 老師有寫了，
討論串：[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42668]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42668[/url]
另外，其它相關資料，
1. [url=http://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&;extra=#pid1296]http://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&;extra=#pid1296[/url]
2. 陽明高中數學科 羅驥韡老師的《舊的圖色文題，新的計算方法》
[url=http://www.scribd.com/full/14174890?access_key=key-sqcrk2qz34pt63qgyvr]http://www.scribd.com/full/14174890?access_key=key-sqcrk2qz34pt63qgyvr[/url] 經由您的解釋我比較容易看得懂!
感謝您肯花時間來解這一題唷! 討論數學的感覺很好，
謝謝。 [color=red][color=black]不好意思關於此句[[/color]因為第 n 區可能跟第 1 區同色或是異色[/color][color=black]]我是覺得應該是[/color][color=#ff0000]第 n-1 區可能跟第 1 區同色或是異色[/color] 為什麼你會這樣覺得呢? 因為第n區與第1區不就有可能同色
這樣子不符合題意[相鄰異色]!
若有觀念錯誤麻煩指正 k(k-1)^{n-1} 並不是 a_n 喔～
你可以先想看看 k(k-1)^{n-1} 是怎麼來的～
就會發現，
因為在塗第 n 塊的時候，並沒有特別避開說要與第 1 塊不同，
而 a_n 的定義有要求第 n 塊跟第一塊要異色，
也因此 [color=Red][b]k(k-1)^{n-1} 比 a_n 多[/b][/color]，
而多多少呢？[color=Red][b]多出來的數目就是 a_{n-1}[/b][/color]
原因就是～當初在算 k(k-1)^{n-1} 時，
有可能會遇到第 n 塊跟第一塊相同的情況，
如果第 n 塊跟第 1 塊相同，就變成 n-1 格相鄰都途異色的區域囉！
題意[相鄰異色]，是限制在 a_n 上面，所以 k(k-1)^{n-1} 並不是 a_n，
k(k-1)^{n-1} 比 a_n 還要多！ 感謝你的解惑,讓我更清楚囉! 補充資料
[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=21240[/url]
使用\( a_{n-1}+a_n=k \cdot (k-1)^{n-1} \)解題
中一中 賴老師工作室
[url]http://jflai.blogspot.com/2007/12/blog-post_7984.html[/url]
使用\( a_{n+1}=(k-2)a_n+(k-1)a_{n-1} \)解題
排列組合之塗色問題 台北縣立三民高中 楊建泰老師
[url]http://blog.cshs.ntct.edu.tw/math/%e5%b0%88%e9%a1%8c%e7%a0%94%e7%a9%b6/[/url]
2011.6.11補充
用紅、黑、黃3種顏色塗下列9個不同的區域如下圖，規定每區需塗一色，顏色可以重複使用，但相鄰部分不得塗同色，則共有幾種不同的塗法？
(100玉井工商，[url]http://math.pro/db/thread-1131-1-1.html[/url])
100.9.29補充
以O為圓心的圓上有n個相異點，依序為\( A_1 \)、\( A_2 \)、\( A_3 \)、…、\( A_n \)，此n個點將圓分割為\( A_1 O A_2 \)、\( A_2 O A_3 \)、\( A_3 O A_4 \)、…、\( A_n O A_1 \)等n個扇形區域。在m種不同顏色的色筆中任選一種顏色塗其中任一扇形區域，每區域一色，相鄰區域不同色，全部的方法數有\( S(n,m) \)，若\( S(n+2,m)=p S(n+1,m)+k S(n,m) \)，求\( p-k= \)？
(98彰化女中，[url]http://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1296[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-9-29 10:24 PM 編輯 [/i]]
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