機率的題目，利用遞迴數列求機率的題目
[font=標楷體][size=13pt]甲乙二人輪流擲一不公正銅板[/size][/font][size=13pt]([/size][font=標楷體][size=13pt]出現正面機率為2/3[/size][/font][size=13pt],[/size][font=標楷體][size=13pt]出現反面機率為1/3)[/size][/font][size=13pt],[/size][font=標楷體][size=13pt]若出現正面[/size][/font][size=13pt],[/size][font=標楷體][size=13pt]甲給乙一元[/size][/font][size=13pt],[/size][font=標楷體][size=13pt]出現反面[/size][/font][size=13pt],[/size][font=標楷體][size=13pt]乙給甲一元[/size][/font][size=13pt].[/size][font=標楷體][size=13pt]金甲有[/size][/font][i][size=13pt]m[/size][/i][font=標楷體][size=13pt]元[/size][/font][size=13pt],[/size][font=標楷體][size=13pt]乙有[/size][/font][i][size=13pt]n[/size][/i][font=標楷體][size=13pt]元[/size][/font][size=13pt]([i]m[/i],[i]n[/i][/size][font=Symbol][size=13pt][font=Symbol]Î[/font][/size][/font][i][size=13pt]N[/size][/i][size=13pt]), [/size][font=標楷體][size=13pt]則甲將乙錢贏光之機率為[/size][/font][size=13pt]______.[/size][size=13pt][font=標楷體][size=13pt][解]設甲有[/size][/font][i][size=13pt]k[/size][/i][font=標楷體][size=13pt]元時[/size][/font][size=13pt],[/size][font=標楷體][size=13pt]將乙贏光之機率為a_k[/size][/font][font=標楷體][size=13pt]且a_0=0,a_m+n=1,[/size][/font][/size]
[size=13pt][font=標楷體][size=13pt]為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的?[/size][/font][/size] [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2008-4-12 11:30 PM 發表 [url=http://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=652&ptid=497][img]http://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的? [/quote]
[color=Red][b]※※ 註：以下這段討論有誤，在後面回覆會提到！[/b][/color]
"輪流丟"，這三個字好像沒有用到？
甲這一局有 \(k\) 元的原因恰來自以下兩個其中之一，
case i. 原本前一局甲有 \(k+1\) 元，然後出現正面(機率是 \(\frac{2}{3}\))，所以這一局甲有 \(k\) 元。
case ii. 原本前一局甲有 \(k-1\) 元，然後出現反面(機率是 \(\frac{1}{3}\))，所以這一局甲有 \(k\) 元。
所以 \(a_k=\frac{2}{3}a_{k+1}+\frac{1}{3}a_{k-1}\)
（解答裡的遞迴關係式的 \(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\) 的位置可能寫反了？）
剩下的就用遞迴數列的特徵方程式來解就可以了。
題外話：
這題目應該是跟隨機過程(Stochastic process)裡面醉漢走路的問題一樣，
Google 搜尋"[url=http://www.google.com.tw/search?q=%E9%9A%A8%E6%A9%9F%E9%81%8E%E7%A8%8B+%E9%86%89%E6%BC%A2]隨機過程 醉漢[/url]" 或 "[url=http://www.google.com.tw/search?q=random+walk]Random Walk[/url]" 會有些相關的介紹，
其中 [url=http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/book2/p5/%E6%87%B8%E5%B4%96%E9%82%8A%E7%9A%84%E9%86%89%E6%BC%A2.htm]http://www.stat.nuk.edu.tw/prost ... %86%89%E6%BC%A2.htm[/url] 這篇的說明與解法也蠻不錯的。
另外，台中一中的某次高二學校期末考有考過上面這題( [url=http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T93223A.pdf]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T93223A.pdf[/url] )，
不過機率改成各 \(\frac{1}{2}\) 而已。
討論串：[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42950]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42950[/url] 謝謝您的答覆
其實我的問題就是跟您的答案一樣!
覺得遞迴關係式1/3, 2/3 的位置應該是寫反了! 請幫我算算看 , 答案是 a_n=(2^m)*[(2^n)-1] / {[2^(m+n)]-1} 嗎? 這邊原先的遞迴關係應該沒有問題
假設這一局有k元
Case 1. 下一局, 甲贏一元機率為1/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k+1}$$
Case 2. 下一局, 甲輸一元機率為2/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k-1}$$
故遞迴關係應該為 $$a_{k}=\frac 1 3 a_{k+1}+\frac 23 a_{k-1}$$.
之前我跟weiye老師想法是一樣, 後來仔細想過遞迴式原始答案給的應該沒錯. 咦～對耶。
我用 \(m=n=1\) 去檢驗，
\(\displaystyle a_0=0, a_2=1, a_1=\frac{1}{3}\)
因而 \(\displaystyle a_1=\frac{1}{3}a_2+\frac{2}{3}a_1\)
你是對的！
因為 \(a_k\) 是定成〝甲在手上有 \(k\) 元時，會贏光乙的錢〞的機率，
似乎用你的講法比較合。
因為如果手上有 \(m+n\) 元就不用丟硬幣啦，
而由 \(m+n\) 元變成 \(m+n-1\) 元就不會發生啦，
所以原本上面我回的做法，就說不通了！
感謝！ ^__^
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