例題：把 Σ 轉換成積分求近似值考題
[quote]稍微指點一下...拜託了sigma k=1~10000 k^(-1/2)
的整數部分為多少?[/quote]
[img]http://math.pro/temp/qq44.jpg[/img]
我也不太會畫圖，所以我畫一個如果把題目的 10000 改成 3 的圖形來給解題的人參考好了
[img]http://math.pro/temp/qq46.jpg[/img]
如圖可得，綠色區域面積<藍色區域面積<黃色區域面積
然後分別把綠色跟黃色區域的面積用積分形式表示，
就是證明裡的不等式(只是要把證明裡的 10000 改成 3，把 10001 改成 4)。
另外，額外附上電腦計算結果
[img]http://math.pro/temp/qq45.jpg[/img]
^______^
原題目來自：[url=http://www.student.tw/db/showthread.php?t=93398]http://www.student.tw/db/showthread.php?t=93398[/url] [x]表不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \Bigg]\; \)
(93國立大里高中，[url]http://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url])
求\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的整數部分。
(94全國高中數學競賽 台南區筆試一試題)
估計\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值，下列何者正確？
(A) \( S \le 100 \) (B) \( 100<S \le 200 \) (C) \( 200<s \le 300 \) (D) \( 300<s \le 400 \)
(94台中縣高中聯招)
若\( \displaystyle x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若[x]表不大於x的最大整數，則[x]=？
(96高雄中學)
若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{9999} \frac{1}{\sqrt{k}} \)，則x的整數部分為？
(97師大附中第一次教師甄試)
設[x]表不大於x的最大整數( \( x \in R \) )，\( \displaystyle a=\sum_{k=5}^{2008} \frac{1}{\sqrt{k}} \)，試求[x]之值。
(97淡水商工)
求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}= \)？(必須寫出過程，不可僅寫簡答)
(97台南女中，[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47757[/url])
求\( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{900}} \)的整數部分？
(99中一中，[url=http://math.pro/db/thread-929-1-1.html]http://math.pro/db/thread-929-1-1.html[/url])
\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
(99左營高中，[url]http://math.pro/db/thread-1016-1-1.html[/url])
若\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}} \)，求[k]？
(100文華高中，[url=http://math.pro/db/thread-1095-3-1.html]http://math.pro/db/thread-1095-3-1.html[/url])
\( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，則[S]=？
(100北一女，[url]http://math.pro/db/thread-1123-1-1.html[/url])
令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \)，其中n為自然數，則n=？
(100台北市中正高中二招，[url]http://math.pro/db/thread-1169-1-1.html[/url])
若\( \displaystyle k=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}} \)，求[k]=？
(100香山高中，[url]http://math.pro/db/thread-1186-1-1.html[/url])
附上正統的解法
奧數教程高一 第9講數列求和
奧數教程高二 第3講證明不等式的常用方法和技巧(Ⅰ)
奧數教程高二 第24講高斯函數[x]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-1-27 10:33 AM 編輯 [/i]]
頁:
[1]